荷载平衡法的基本原理和简单应用
引言
荷载平衡法是美籍华人林同炎教授首先提出来的。根据预应力混凝土的第三种概念：预加应力可以认为是对混凝土构件预先施加与使用荷载相反方向的荷载，用以抵消部分或全部工作荷载——荷载平衡法正是基于该原理。荷载平衡法对简支梁的设计意义不大，主要是帮助设计人员合理选择预应力筋线型和预加力的大小，以减少使用条件下的挠度;但对连续梁、平板、框架等较复杂结构的设计则非常有用。
一、等效荷载
一般来说，预应力筋对梁的作用，可用一组等效荷载来代替。这种等效荷载一般由两部分组成：一是在结构锚固区引人的压力和某些集中弯矩;二是由预应力筋曲率引起的垂直于束中心线的横向分布力，或由预应力筋转折引起的集中力。该横向力可以抵抗作用在结构上的外荷载，因此也可以称之为反向荷载或等效荷载[1]。
曲线预应力筋在预应力混凝土梁中最为常见，且通常都采用沿梁长曲率固定不变的二次抛物线形，以图1-1所示简支梁为例来说明。简支梁配置一抛物线筋，跨中的偏心距为e，梁端的偏心距为零。所以由预应力Np产生的弯矩图也是抛物线的，跨中处弯矩最大值为Np·e，离左端处的弯矩值为。
将M对x求二阶导数，即可求出这弯矩引起的等效荷载q，即：q=d2M/dx2=-8Npe/L2 。式中的负号表示方向向上，故曲线筋的等效荷载为向上的均布荷载（严格说抵消荷载方向应垂直于束中心线，但由于角度甚小，可近似认为垂直于梁中心线），如图1-1所示。曲线预应力筋在梁端锚固处的作用力与梁纵轴有一倾角，可由曲线筋的抛物线方程求导数得到。对跨中垂度为e的抛物线形束，其曲线的一般方程为[2]：y=4e[x/L-（x/L）2]。该曲线预应力筋束的斜度为：y’=4e/L（1-2x/L）。当x=0或L时，y’=±4e/L。由于抛物线的垂度e相对于跨度L很小，这样梁两端锚具预加力Np下的竖向分力与水平分力可分别表示为：Npsinθ=4Npe/L，Npcosθ=Np。
荷载平衡法用于预应力混凝土连续梁的设计,会大大简化连续梁的分析计算。荷载平衡法应用于连续梁时，除了预加力的等效荷载概念外，还应用了吻合力筋的概念。即假设预应力混凝土连续梁中的预应力筋的布置是与外荷载产生的弯矩图形状相似，并且在两端点预应力筋没有偏心，则预应力筋就平衡了连续梁上的这一部分荷载，也不产生次内力。例如两跨连续梁，在满跨均布荷载作用下的弯矩分布如图1-2（b），当预应力筋按照图1-2（c）的形状布置时，预应力筋所产生的等效荷载恰好与外力荷载数值相同，作用力方向相反，即两者所产生的弯矩效应互相抵消，该形状的布置是吻合力筋，不产生次内力。这就使得设计计算十分简便。如果结构是按部分预应力的概念设计，则可设计为预应力的作用是平衡了结构上的部分荷载，而余下的部分荷载则由非预应力钢筋承担，按钢筋混凝土构件设计。图1-2（c）所示的是理想布筋方案，它在内支座B处有尖角，而实际施工中要求预应力筋这样的转折是很困难的。因此，对于连续梁的布筋实际上多采用图1-2（d）的形式，此方案与理想布筋方案的预应力效应有些差异，即实际布筋形式是会产生次内力的。然而，在工程设计中，往往是根据若干控制截面所确定的内力包络图进行设计的，连续梁的弯矩图又与实际布筋的形状比较相似，因此，在工程设计中还是适用的。
二、荷载平衡法基本原理
在第一节中已经叙述了当采用曲线形或折线形预应力钢筋时，预加力对构件的作用可以用一组等效荷载来代替，不同形状的预应力筋产生不同的等效荷载。因此，可根据给定的外荷载的形式和大小确定相应的预应力筋的形状和预应力的大小，使得等效荷载的分布形式与外荷载的分布形式相同，作用相反[3]。每一种线形布置的预应力钢筋，各有其相应的等效荷载与弯矩图形。这种竖向等效荷载和其他任何外荷载一样可直接用以计算构件的弯矩与挠度。如果根据外荷载的性质和大小将预加力和预应力钢筋线形确定使杂在梁上的外荷载刚好被预加力产生的等效荷载（方向向上）所平衡，亦即抵消，则在这一荷载平衡状态下，梁承受的竖向荷载为零，梁将如同轴心受压柱一样只受有轴心压力Np而没有弯矩，也没有竖向挠度。这种特定的等效荷载称为平衡荷载。按平衡荷载确定预应力钢筋的线形和预加力的方法称为荷载平衡法[4]。
三、算例分析
用后张有粘结预应力混凝土设计一双跨连续矩形大梁[5]。已知两跨跨度均为18m，承受均布恒荷载为10kN/m（不包括自重），均布活荷载为30kN/m。选用φS15.2的1860低松弛钢绞线，混凝土等级40MPa。假设预应力的总损失为25%控制应力。
解：⑴选择截面尺寸：梁高h= l/18～l/12=1000～1500mm，取梁高h=1200mm，梁宽b=350mm。截面面积为：A=1200×350=4.2×105mm2，截面惯性矩为：I=bh3/12=5.04×1010mm4。梁自重为： qG2=0.42×25=10.5kN/m，均布恒荷载为： qG1=10kN/m，∴总恒荷载： qG= qG1 +qG2=20.5kN/m。
⑵由恒载产生的中间支座弯矩：M=-ql2/8=-830.3kN·m;由活载产生的中间支座弯矩： M=-ql2/8=-1215kN·m;由恒载产生的跨内最大弯矩：M=9ql2/128=467.0kNm;由活载产生的跨内最大弯矩：M=9ql2/128=683.4kNm。中间支座弯矩：M=-2035.3kN·m，跨内最大弯矩：M=1150.4kN·m。
⑶估计预应力的大小：假定采用抛物线预应力束。跨中预应力束中心距底面100mm，中间支座处预应力束中心距顶面100mm。等效偏心距为：e=500+500/2=750mm（如图3-1）。
设预应力束引起的等效荷载平衡全部的恒载和10%的活载，则要求平衡的均布荷载为：20.5+3=23.5kN/m∴Np1=ωp1×l2/（8e）=1269kN。设预应力的总损失为25%σcon，Ncon=Np /0.75=1692kN。选用φS15.2的1860钢绞线：σcon =0.65fptk=1209N/mm2，则所需预应力筋面积为： Ncon =Ncon /σcon =1400mm2。所需钢绞线根数为：n=AP/139 =11，分两束布置，一束5根，一束6根。实际预应力筋面积和预加力大小：AP =11×139=1529mm2，NPe =0.75×σcon ×AP =1386.4kN。
⑷预应力钢筋的布置：按荷载平衡法设计的预应力筋形状为理想的抛物线，在中间支座处有尖角。但在实际施工中，中间支座处的预应力筋采用反向抛物线，即：实际布置的预应力筋在跨中由两段反向抛物线相切，并有共同的水平切线;在内支座附近，用抛物线和跨内抛物线反向相切于反弯点。一般取反弯点距内支座0.1l。根据它们之间的比例可求得各抛物线的垂度。如图3-2所示：
对第一段预应力筋，等效荷载为：q1 =8Npe×el/l12= 8×1.386×106×0.5/（2×0.5×18）2 =17.1kN/m。对第二、三段预应力筋，等效荷载为：e2/e3=（0.4l/0.1l），e2+e3=2e，∴e2=800mm，e3=200mm， q2=8Npe×e2/l22= 8×1.386×106×0.8/（2×0.4×18）2=42.8kN/m，q3=8Npe×e3/l32= 8×1.386×106×0.2/（2×0.1×18）2 =171.1kN/m。
等效荷载见图3-3，由等效荷载产生的综合弯矩见图3-4：
四、 结论与展望
荷载平衡法大大简化了预应力混凝土的设计和计算，是一种比较实用的简化方法，但与实际情况有一定程度的误差，需要加以改进。中国建筑科学研究院研究员陈惠玲女士提出了综合等效荷载法，该法在等效均布荷载外又考虑了等效杆端弯矩，弥补了荷载平衡法在端支座处预应力不能有偏心以及等效均布荷载对框架柱有轴力影响的不足，可直接用于计算框架在预应力作用下产生的综合弯矩以及次弯矩，扩大了荷载平衡法的计算范围。
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