电路的状态变量分析
[拼音]：dianlu de zhuangtai bianliang fenxi
[外文]：state variable analysis in circuit
用状态变量建立状态方程以分析电路的方法。一系统的状态变量是具有下述特点的数目最少的一组变量：知道这一组变量在某一时刻(t=t0)的值和施加于此系统在此后(t≥t0)的输入（激励）值，就能完全确定此系统在任何时刻(t≥t0)的性状。 同一系统可以用多组状态变量中的任一组去描述。选取怎样的一组往往视方便与需要而定。
状态空间分析就是采用状态建立状态方程，以分析系统的性状。连续时间系统的状态方程是一组联立的一阶微分方程；离散时间系统的状态方程是一组联立的一阶差分方程。
连续时间系统的状态方程
用矢量写出，一般有以下形式
�J＝f(χ ，u) (1)
式中χ 是n 维矢量，代表状态变量；�J为状态变量的时间导数;u是m 维矢量，代表输入;函数f:Rn×Rm →Rn。给定电路的拓扑结构（见网络拓扑）元件特性及电源，可以根据基尔霍夫定律及给定的上述电路特性写出其状态方程。在电路理论中常取电感电流或磁链，电容电压或电荷为状态变量。
对仅含RLCM的电路，大致可依下列步骤建立状态方程。
（1）假设电路中没有完全由电容、电压电源组成的回路和完全由电感、电流电源组成的割集，便可选一树，使全部电容、电压电源支路均为树支，电感、电流电源支路均为连支。
（2）取电容电压（或电荷）、电感电流（或磁链）为状态变量，对每一树支根据KCL写基本割集方程，其中便含有联系电容电流与连支电流的方程式；对每一连支根据KVL写基本回路方程， 其中便含有联系电感电压与树支电压的方程。
（3）由这样得到的方程组中消去非状态变量即树支电阻电压、连支电导电流，便得到以电容电压和电感电流以及各电源电压（流）表示的电容电流、电感电压的表达式，由之便可容易地得出电路的状态方程。在含有电容-电压源回路、电感-电流源割集的电路中，仍可循上述方法建立状态方程，只是有的电容电压、电感电流受KVL、KCL的限制，前者可以由与之构成回路的电容电压、后者可用与之构成割集的电感电流表示出，而不成为状态变量。
以一个由电阻R、电感L、电容C、电压源u组成的串联电路（见图）为例，
选uc，iL为状态变量，可得其状态方程如下：
给定初始条件iL(t0)、 uc(t0)，便可由上述方程解得uc(t)，iL(t)。如果所关心的输出是电容电压，便有
由状态变量和输入表示的输出量的方程称为输出方程。
线性时变电路的状态方程 也可以按上述步骤去建立。对于非线性电路虽然亦可根据上述同样的步骤去列写方程，但在消去非状态变量的过程中要涉及非线性方程的求解，这一般只能用数值方法去处理，而且需要元件特性的性质满足某些条件，才能有状态方程的描述。
线性时变电路的状态方程有以下形式
(2)
式中系数矩阵均为以时间函数为其元素的矩阵。设上一方程的齐次方程�J＝A(t)χ有n个线性无关的解，φi=(φ1iφ2i…φii…φni(i =1，2，…，n)，由此n个解组成的矩阵
(3)
称为方程 (2)的齐次方程的基本矩阵，Φ(t，t0)��Φ(t)Φ-1(t)ψ-1(t0)称为方程(2)的状态转移矩阵。 满足方程(2)及初始条件χ(t0)=χ0的解为
χ(t)＝φ(t，t0)χ0
由此方程的解可表示为
(4)
式中第一项是零输入解，第二项是零状态解。由上可见，求时变电路状态方程的解，首先需要求出具齐次方程的一组独立的特解，只在少数情况下可以求出解析形式的这组解答。所以在许多情况下只得用数值方法求其数值解。
线性时不变电路的状态方程
一般有下列形式：
�J＝Aχ＋Bu (5)
以及输出方程
��＝Cχ＋Du (6)
式中χ是n维列矢量，u是m维列矢量，y是某一维数的输出列矢量，A、B、C、D 是行列数适当的常数矩阵。这种形式的方程的解为
(7)
式中χ(t0)＝χ(t)是给定的初始条件。在线性代数理论中有许多方法可用以计算式中涉及的矩阵函数。式�杏叶说�1项即是电路的零输入响应;第2项…即是电路的零状态响应。全部响应即为此两项之和。矩阵函数
称为状态转移矩阵。在无激励的作用下，电路t0时的状态矢量与之相乘，便被转换成t时的状态χ(t)。
线性时不变电路的状态方程还可用诸如拉普拉斯变换乃至数值方法求解。总之这类问题的求解已有成熟的方法可用。
非线性电路的状态方程
这类电路的状态方程的求解是理论上还不成熟的领域。非线性电路中存在许多线性系统中不存在的现象，如振荡、跳跃、混沌等，只有用非线性理论才能阐明。它是一个有理论意义正在被探索的领域。
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