[拼音]：Lapulasi bianhuan

[外文]：Laplace transformation

为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s＝σ＋jω的一个函数，其中σ和ω 均为实变数,j²＝-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：

。

如果对于实部σ ＞σ_c的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σ_c时积分不存在，便称 σ_c为f(t)的�樟蚕凳�。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σ_c为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L^-1[F(s)]。

函数变换对和运算变换性质

利用定义积分，很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对，以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系。表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质。

拉普拉斯反变换

拉普拉斯变换具有可逆性。由复数表达式F(s)来定出实数表达式f(t)的运算称为反变换。拉普拉斯反变换的定义积分式是

。

直接计算这个积分是困难的。但是对于大多数工程问题，F(s)往往是s的一个严格真有理分式

可采用简单步骤来完成反变换运算。对应于F(s)的分母多项式为零的根是两两不相等的情况，在定出它们的值λ₁、λ₂、…、λ_n以后,由部分分式展开并结合查表1,可定出反变换函数为

式中。如果F(s)的分母多项式为零的根中包含有重根，那么反变换的结果和计算过程都要复杂一些。

应用

从数学的观点来说，拉普拉斯变换主要为求解线性微分方程提供了一种简便的运算方法。在给定微分方程后，运用表1的变换关系和表2的运算性质，就可把问题化成为求解象函数的代数方程，它的解经反变换后的结果就是微分方程的解。

参考书目

1. 钟士模、郑大钟著：《过渡过程分析》，清华大学出版社，北京，1986。

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文章名称：《拉普拉斯变换》

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