机械制图教程(点、直线、平面的投影)
2.3 点、直线、平面的投影
在前面已研究了物体与视图之间的对应关系，但为了迅速而准确地表达空间形体，就必须进一步研究构成形体的最基本的几何元素（点、线、面）的投影规律。
2.3.1 点的投影
2.3.1.1 点的三面投影
如图2-7所示，由空间点A分别作垂直于H、V和W的投射线，其垂足a、a′ 、a″即为点A在H面、V面和W面上的投影。本书规定，空间点用大写字母如A、B表示，水平投影用相应的小写字母表示，正面投影用相应小写字母加一撇表示，侧面投影用相应小写字母加两撇表示。a称为点A的水平投影；a′ 称为点A的正面投影；a″ 称为点A的侧面投影。
2.3.1.2 点的投影规律
从图2-7中可以看出空间点A在三投影面体系中有唯一确定的一组投影（a，a′，a″ ），反之如已知点A的三面投影即可确定点A的坐标值，也就确定了其空间位置。因此可以得出点的
图2-7 点的三面投影
投影规律：
（1）点的V面与H面的投影连线垂直于OX轴，即a′ a⊥OX。
这两个投影都反映空间点到W面的距离即X坐标：a′aZ=aaYH=XA 。
（2）点的V面与W面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
这两个投影都反映空间点到H面的距离即Z坐标：a′aX=a″aYW=ZA 。
（3）点的H面投影到OX轴的距离等于点的W面投影到OZ轴的距离。
这两个投影都反映空间点到V面的距离即Y坐标：aaX=a″aZ=YA 。
实际上，上述点的投影规律也体现了三视图的“长对正、高平齐、宽相等”。
作图时，为了表示aaX=a″ aZ的关系，常用过原点O的45°辅助线把点的H面与W面投影关系联系起来，如图2-7(c)所示。
点的三个坐标值（x，y，z）分别反映了点到W、V、H面之间的距离。根据点的投影规律，可由点的坐标画出三面投影，也可根据点的两个投影作出第三投影。
例2.1 已知点A的两面投影和点B的坐标为（25，20，30），求点A的第三面投影及点B的三面投影（见图2-8(a)）。
解（1）求A点的侧面投影
先过原点O作45°辅助线。过a作∥OX轴的直线与45°辅助线相交于一点，过交点作⊥OYW的直线，该直线与过a′平行于OX轴的直线相交于一点即为所求侧面投影a″。
（2）求B点的三面投影
图2-8 求作点的投影
在OX轴取ObX =25 mm，得点bX,过bX作OX轴的垂线，取b′bX=30 mm，得点b′，取bbX=20 mm，得点b；同求A点的侧面投影一样，可求得点B的侧面投影b″。答案见图2-8（b）。
2.3.1.3 重影点及两点的相对位置
若空间两点的某一投影重合在一起，则这两点称为对该投影面的重影点。如图2-9所示，在三棱柱上两点A、C为H面的重影点。重影点的可见性由两点的相对位置判别，对V面、H面和W面的重影点分别为前遮后、上遮下、左遮右，不可见点的投影字母加括号表示。
图2-9 重影点及两点相对位置
空间点的相对位置，可以在三面投影中直接反映出来，如图2-9（b）所示，在三棱柱上的两点A、B，在V面上反映两点上下、左右关系，H面上反映两点左右、前后关系，W面上反映两点上下、前后关系。
2.3.2 直线的投影
2.3.2.1 一般位置直线及直线上点的投影
直线的投影一般仍为直线。由几何学知道，空间两点决定一直线，因此要作直线的投影，只需作出直线段上两点的投影（两点在同一投影
面上的投影称为同面投影），如图2-10所示。
图2-10 直线及直线上点的投影
一般位置直线对三个投影面都倾斜，其三面投影仍为直线。直线对H、V、W面的倾角用α、β、γ来表示，则ab=ABcosα＜AB，a′b′＝ABcosβ＜AB,a″b″＝ABcos γ＜AB。
点在直线上，由正投影的基本性质可知，应有下列投影特性：
（1）点的投影必在直线的同面投影上（从属性）。如图2-10所示，在直线AB上有一点M，点M的三面投影m、m′、m″分别在直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。
（2）点分线段之比等于其投影之比（定比性）。如图2-10，点M分AB成AM和BM，有AM∶BM=am∶bm=a′m′∶b′m′=a″m″∶b″m″。
图2-11 求直线上点的投影
例2.2 如图2-11（a）所示，已知点C分 AB为AC∶BC=3∶2，求点C的投影。
解 分析：根据直线上点的投影特性，可将AB的任一投影分成3∶2，求得点C的一个投影，利用从属性，求出点C的另一投影。作图步骤如下（见图2-11（b））：
(1) 过a作任意直线，并截取5 个单位长度，并连接线5b；
(2) 过3作5b的平行线，交ab 于c；
(3) 由c作投影连线，交a′ b′ 于点c′。
2.3.2.2 特殊位置直线的投影特性
投影平行线 正平线：∥V，∠H、W
(仅平行于某个投影面) 水平线：∥H，∠V、W
特殊位置直线 侧平线：∥W，∠V、H
投影面垂直线 正垂线：⊥V,∥H、W
（垂直于某个投影面） 铅垂线：⊥H，∥V、W
侧垂线：⊥W，∥V、H
（1) 投影面平行线的投影投影面平行线的投影特性（正平线、水平线、侧平线）见表2-3。
表2-3 投影面平行线的投影
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名称 |
立 体 图 |
投 影 图 |
投 影 特 性 |
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正 平 线 |
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（1）a′ b′ 反映实长和真实倾角α、γ； （2）ab∥OX，a″b″∥OZ，长度缩短 |
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水 平 线 |
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（1）ab反映实长和真实倾角β、γ； （2）a′ b′ ∥OX，a″b″∥OYW，长度缩短 |
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侧 平 线 |
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（1）a″b″反映实长和真实倾角α、β； （2）a′b′∥OZ，ab∥OYH，长度缩短 |
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投影面平行线的投影特性： （1） 直线在与其平行的投影面上的投影，反映该线段的实长及该直线与其他两个投影面的倾角； （2） 直线在其他两个投影面的投影分别平行于相应的投影轴。 |
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（2） 投影面垂直线的投影投影面垂直线的投影特性（正垂线、铅垂线、侧垂线）见表2-4。
表2-4 投影面垂直线的投影
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名称 |
立 体 图 |
投 影 图 |
投 影 特 性 |
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正 垂 线 |
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（1）a′b′积聚成一点； （2）ab⊥OX，a″b″⊥OZ，且反映实长，即ab=a″b″=AB |
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铅 垂 线 |
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（1）ab积聚成一点； （2）a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW，且反映实长，即a′b′=a″b″=AB |
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侧 垂 线 |
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（1）a″b″积聚成一点； （2）a′b′⊥OZ，ab⊥OYH，且反映实长，即ab=a′b′=AB |
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投影面垂直线的投影特性： （1） 直线在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2） 直线在其他两个投影面的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长 |
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（3) 直角三角形法求直线实长及对投影面的倾角 特殊位置的直线至少有一个投影反映实长并反映直线对投影面的倾角。
一般位置直线的三面投影均不反映实长及倾角的真实大小，能否根据直线的投影求其实长及倾角的真实大小呢？实际应用中，可用直角三角形法求得。如图2-12所示，AB为一般位置的直线，过A作AB0∥ab，则得一直角△ABB0，在直角△ABB0中，两直角边的长度为BB0=Bb-Aa=ZB-ZA=ΔZ，AB0=ab，∠BAB0=α。
可见只要知道直线的投影长度ab和对该投影面的坐标差ΔZ，就可求出AB的实长及倾角α，作图过程如图2-12(b)所示。
图2-12 直角三角形法求实长及倾角
同理利用直线的V面投影和对该投影面的坐标差，可求得直线对V面的倾角β和实长，如图2-12(c)所示。
同样可以求出直线对W面的倾角γ，请读者自己分析。
图2-13 求C点的投影
例2.3 如图2-13(a)所示，求直线AB的实长及对H面的倾角α。并在直线AB上取一点C，使线段AC=10 mm 。
解 分析：先求出AB的实长及对H面的倾角α，再在AB实长上截取AC0=10 mm得C0点，然后将C0点返回到AB的投影ab上,求得C点的投影。作图过程如图2-13(b)所示：
（1）过b作ab的垂线，取B0b=ZB-ZA得直角△。aB0、夹角α即为所求实长与倾角。
（2）在AB的实长aB0上，截取aC0=10 mm，得点C0。
（3）再作C0c∥B0b得点C的水平投影c，作投影连线得点C的正面投影c′。
2.3.2.3 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有相交、平行和交叉三种情况。交叉两直线不在同一平面上，所以称为异面直线。相交两直线和平行两直线在同一平面上，所以又称它们为共面直线。
两直线的相对位置投影特性见表2-5。根据投影图可判断两直线的相对位置。
如两直线处于一般位置，一般由两面投影即可判断，若直线处于特殊位置，则需要利用三面投影或定比性等方法判断。
表2-5 两直线的相对位置投影特性
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名称 |
立 体 图 |
投 影 图 |
投 影 特 性 |
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平 行 两 直 线 |
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平行两直线的同面投影分别相互平行,且具有定比性 |
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相 交 两 直 线 |
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相交两直线的同面投影分别相交，且交点符合点的投影规律 |
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交 叉 两 直 线 |
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既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性 |
2.3.2.4 直角投影定理
定理：相互垂直的两直线，若其中一直线为某投影面的平行线，则两直线在该投影面上的投影反映直角。
图2-14一边平行于投影面的直角投影
已知：AB⊥BC、BC∥H面。如图2-14（a）。
证明：因BC∥H面，而Bb⊥H面，故BC⊥Bb，所以BC⊥平面BbaA，又因bc∥BC，故bc⊥平面BbaA。所以bc⊥ab，即∠abc=90°，见投影图2-14（b）所示。
该定理的逆定理同样成立。
直角投影定理常被用来求解有关距离问题。
例2.4 如图2-15（a）所示，求点C到直线AB距离CD的实长。
2.15 求点到直线的距离
解 分析：求点到直线的距离，即从点向直线作垂线，求垂足。因AB是正平线，根据直角投影定理，从点C向AB所作垂线，其正面投影必相互垂直。
作图步骤如下（见图2-15（b））：
（1）过c′作a′b′的垂线得垂足投影d′。
（2）根据点D在直线AB上，求出d。
（3）连cd、c′d′即为距离的两面投影，利用直角三角形法求出CD实长。
2.3.3 平面的投影
2.3.3.1 平面的表示法与一般位置平面图
空间平面可用下列任意一组几何元素来表示（如图2-16所示）：
(1) 不在同一直线上的三点（见图2-16（a））；
(2) 一直线和直线外一点（见图2-16(b)）；
(3) 相交两直线（见图2-16(c)）；
(4) 平行两直线（见图2-16(d)）；
(5) 任意平面图形（见图2-16(e)）。
图2-16 平面的表示法
一般位置平面的投影如图2-17所示，由于△ABC对V、H、W面都倾斜，因此其三面投影都是三角形，为原平面图形的类似形，且面积比原图形小。
平面对H、V、W面的倾角，分别用α、β、γ来表示。
图2-17 一般位置平面的投影
2.3.3.2特殊位置平面的投影特性
特殊位置平面分为投影面垂直面和投影面平行面两类。
正垂面：⊥V，∠H、W
投影面垂直面 铅垂面：⊥H，∠V、W
特殊位置平面 （仅垂直于一个投面） 侧垂面：⊥W，∠V、H
正平面：∥V，⊥H、W
投影面平行面 水平面：∥H，⊥V、W
（平行于一个投影面） 侧平面：∥W，⊥V、H
(1) 投影面垂直面的投影
投影面垂直面的投影特性见表2-6。
表2-6 投影面垂直面的投影
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名称 |
立 体 图 |
投 影 图 |
投 影 特 性 |
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铅 垂 面 |
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（1）水平投影积聚成一直线，并反映真实倾角β、γ; (2)正面投影和侧面投影仍为平面图形，但面积缩小 |
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正 垂 面 |
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(1)正面投影积聚成一直线，并反映真实倾角α、γ; (2)水平投影和侧面投影仍为平面图形，但面积缩小 |
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侧 垂 面 |
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(1)侧面投影积聚成一直线，并反映真实倾角α、β; (2)正面投影和水平投影仍为平面图形，但面积缩小 |
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投影面垂直面的投影特性： （1） 平面在与其垂直的投影面上的投影积聚成一直线，并反映该平面对其他两个投影面的倾角； （2） 平面在其他两个投影面的投影都是面积小于原平面图形的类似形 |
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(2) 投影面平行面的投影 投影面平行面的投影特性见表2-7。
表2-7 投影面平行面的投影
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名称 |
立 体 图 |
投 影 图 |
投 影 特 性 |
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正 平 面 |
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(1)正面投影反映实形; (2)水平投影∥OX、侧面投影∥OZ，并分别积聚成一直线 |
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水 平 面 |
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(1)水平投影反映实形; (2)正面投影∥OX、侧面投影∥OYW，并分别积聚成一直线 |
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侧 平 面 |
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(1)侧面投影反映实形; (2)正面投影∥OZ、水平投影∥OYH，并分别积聚成一直线 |
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投影面平行面的投影特性： （1）平面在与其平行的投影面上的投影反映平面实形； （2）平面在其他两个投影面的投影都积聚成平行于相应投影轴的直线 |
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2.3.3.3 平面内的点和直线
(1) 平面内取点和直线 点属于平面的几何条件是：点必需在平面内的一条直线上。因此要在平面内取点，必须过点在平面内取一条已知直线。如图2-18在△ABC所确定的平面内取一点N，点N取在已知直线AB上，即在a′b′上取n′,在ab上求取n，因此点N必在该平面内。
图2-18 平面内取点 图2-19 平面内取直线
直线属于平面的几何条件是：该直线必通过此平面内的两个点或通过该平面内一点且平行于该平面内的另一已知直线。
依此条件，可在平面内取直线，如图2-19(a)在DE和EF相交直线所确定的平面内取两点M和N，直线MN必在该平面内。图2-19(b)为过M作直线MN∥EF，则直线MN必在该平面内。
在平面内取点和直线是密切相关的，取点要先取直线，而取直线又离不开取点。
例2.5 如图2-20(a)所示，判断点K是否属于△ABC所确定的平面。
解 根据点在平面内的条件，假如点在平面内，则必属于平面内的一条直线上。判断方法是：过点K的一个投影在△ABC作一直线AK交BC于D，再判断点K是否在直线AD上。
作图过程如下（见图2-20(b)）：连a′、k′交b′c′于d′，过d′作投影连线得d，即求得AD的水平投影 ad。而点K的水平投影k不在ad上，故K点不属于平面△ABC。
图2-20 判断点属于平面 图2-21 平面内投影面平行线
(2) 平面内的投影面平行线 既在给定平面内，又平行于投影面的直线，称为该平面内的投影面平行线。它们既具有投影面平行线的投影特性，又符合直线在平面内的条件。在图2-21中，AD在△ABC内，ad∥OX轴即AD∥V面，故AD为△ABC平面内的正平线。同理，AB为该平面内的水平线。
例2.6 如图2-22所示，在平面ABCD内求点K，使其距V面为15 mm、距H面为12 mm。
解 （1）分析：在平面ABCD内求点K距V面15 mm，则点一定在距V面15 mm的正平线上。同理，又因点距H面为12 mm，则点一定在距H面为12 mm的水平线上。平面上的正平线与水平线的交点即为所求K。
（2）作图步骤如下(见图2-22所示)：先作正平线MN的水平投影mn∥OX，且距OX轴为15 mm，并作出MN的正面投影m′n′ 。
同理，作水平线PQ的正面投影p′ q′∥OX，且距OX轴为12 mm。
m′n′与p′ q′的交点即为K点的正面投影k′，作投影连线交mn于k，
即点K（k，k′）即为所求。
图2-22 投影面平行线的应用
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